Relaciones matemáticas

¿Que son las relaciones matemáticas?

 1.-Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

2.-El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

3.-Una relación , la llamamos “R” cuando es la relación de los conjuntos A,B….etc es un subconjunto del producto cartesiano A x B x ….. Zn. Una Relación binaria es una relación entre dos conjuntos. El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que forman tuplas.

Definición de:

UNARIA: En matemáticas, una relación unaria R, en un conjunto A, es el subconjunto de los elementos x de A que cumplen una determinada condición que define R:

${\displaystyle R=\{x:\;x\in A\;\land \;R(x)=cierto\}}$

ejemplos:

• Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación unaria P de los números pares, esto es un número natural x pertenece a P si x es par, que se expresaría:

${\displaystyle P=\{x:\;x\in \mathbb {N} \;\land \;x\;par\}}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle P=\{2,4,6,8,10,12,\cdots \}}$

• Partiendo de los alumnos de un centro escolar A, podemos definir la relación unaria alumnos de tercero T, formada por los alumnos del centro que estudian tercer curso:

${\displaystyle T=\{a:\;a\in \mathbb {A} \;\land \;a\;estudia\;tercero\}}$

BINARIA:  Una relación binaria es una relación matemática  definida entre los elementos de dos conjuntos  y . Una relación  de  en  se puede representar mediante pares ordenados  para los cuales se cumple una propiedad , de forma que , y se anota:

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A\times B\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}}$

Que se lee: la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es el conjunto de pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$ pertenecientes al producto cartesiano ${\displaystyle A\times B}$, y para los cuales se cumple la propiedad ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ que los relaciona.

Las proposiciones siguientes son correctas para representar la relación binaria ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ entre los elementos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle a{\mathcal {R}}b\qquad {\mbox{o}}\qquad {\mathcal {R}}(a,b)\qquad {\mbox{o bien}}\qquad (a,b)\in {\mathcal {R}}}$

También, según la notación polaca puede expresarse:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\;a\;b}$

ejemplos: 

• Dado el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, definimos la relación binaria ${\displaystyle P(x,y)}$ de los puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, según la función cuadrática ${\displaystyle y=2x^{2}-3x+5}$, de forma que se anota:

${\displaystyle P=\{(x,y):\;(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\land \;y=2x^{2}-3x+5\}}$

• Partiendo del conjunto ${\displaystyle A}$ de los automóviles ${\displaystyle a}$ de una localidad, y otro conjunto ${\displaystyle P}$ de las personas ${\displaystyle p}$ que manejan automóviles en esa localidad, podemos definir la relación binaria ${\displaystyle C}$ «... conduce ...» entre ambos conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle P}$, formada por cada automóvil ${\displaystyle a}$, y quien lo conduce ${\displaystyle p}$ de forma que se anota formalmente:

${\displaystyle C=\{(a,p):(a,p)\in A\times P\;\land \;a\;{\mbox{es un autom}}\mathrm {\acute {o}} {\mbox{vil}}\;\land \;p\;{\mbox{es un conductor}}\}}$

TERNARIA: una relación ternaria R es el conjunto de ternas, ${\displaystyle (a,b,c)\in A\times B\times C}$ que cumplen una determinada condición que define R.

${\displaystyle R=\{(a,b,c):\;a\in A\land b\in B\land c\in C\land R(a,b,c)=cierto\}}$

ejemplos: 

• Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación ternaria S (a,b,c) tal que a + b = c:

${\displaystyle S=\{(a,b,c):\;(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\land (a+b=c)\}}$

que resultaría el conjunto de ternas:

${\displaystyle S=\{(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,4),\cdots \}}$

Puede verse que se cumple que:

${\displaystyle S\subset \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

• Partiendo del conjunto P de todas las personas, podemos definir la relación ternaria A ascendientes, formada por cada individuo i, su padre p y su madre m:

${\displaystyle A=\{(i,p,m)\in P^{3}\land p{\mbox{ es padre de }}i\land m{\mbox{ es madre de }}i\}}$

representación de relaciones usando matrices

Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos.

 Sean A y B conjuntos finitos de la forma:

Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz , donde

La matriz se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y unos, de R tiene un 1 en la posición cuando está relacionado con , y un 1 en está posición si no está relacionado con .

Observe en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que representa una relación depende de los órdenes usados para A y B. Cuando A = B usamos el mismo orden para A y B.

Representación de relaciones usando conjuntos.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjunto.

Representación de relaciones usando grafos.

un grafo 

es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos.

Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binaria entre elementos de un conjunto.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:

• V es un conjunto de vértices o nodos, y
• E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo G a su número de vértices, | V | .

El grado de un vértice o nodo V es igual al número de arcos E que se encuentran en él.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

EJEMPLO:

• V:={1,2,3,4,5,6}
• E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

• En la teorías de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
• En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
• Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.